数学的无理数

撰文 | 夏志宏

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公元1610年，天文学家伽利略发现了太阳黑子，这在欧洲引起了极度恐慌。从亚里士多德以来，人们一直认为太阳是完美无缺的。太阳黑子的存在破坏了这些根深蒂固的文化理念。太阳有缺陷这个事实也与当时的宗教教义所相悖。

同样，人们一直认为数字是完美无缺的，无理数的发现使一群数学迷们异常惊恐。为了防止世人窥视到上帝的缺陷，发现者被绑上石头，沉入海底。

公元前第五世纪，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派倒霉的希勃索斯（Hippasus）发现了一个惊人事实，一个边长为一的正方形的对角线长度不是有理数。无理数的存在说明了数轴上存在不能用有理数表示的“空隙”，和毕达哥拉斯学派的“万物皆为数（有理数）”的哲理大相径庭。学派领袖惶恐、愤怒以后，可怜的希勃索斯被百般折磨，判了极刑。从此毕达哥拉斯学派把守住这一秘密当成学派的头等大事。

在人类科学史上，以“主义”、“思想”等教条来“指导”、“武装”科学研究时，其结果往往是悲剧。

根据勾股定理（在西方叫毕达哥拉斯定理），边长为一的正方形的对角线长度为

，也就是说，希勃索斯是第一个发现

是无理数的人。

根据古希腊哲学家柏拉图《对话录》记载，数学家Theodorus of Cyrene发现了从2到17整数中，除了4，9，16这几个完全平方数而外，所有的平方根都是无理数。柏拉图没有解释Theodorus为何停在17。事实上，可以证明任何正整数的平方根如果不是恰好是整数的话，那一定是无理数。

无理数的发现经常被称为数学史上的第一次危机，其影响是深远的。有理与无理的对立不仅有抽象的哲学意义，也有广泛的应用意义。

两个实数的比例如果是有理数，我们称这两个实数有理相关。在力学上，震动频率的有理相关会引起共振，而共振会带来系统的不稳定。举个小例子，如果人在木桥上走动的频率与木桥晃动的固有频率有理相关，就会引起危险的共振现象。

再举个例子，太阳系在火星和木星之间有众多的小行星，形成一个小行星带。已发现并确认的就有几十万颗。这些小行星在太空中的分布和它们的轨道稳定性有密切关系。如果小行星绕太阳的运动周期和木星的周期比例是有理数，这就形成共振，它们之间的相互影响就会很大，这些影响往往会导致小行星轨道的不稳定。因此，在这些轨道上小行星的数目就会很少。小行星分布的著名Kirkwood空隙就是在这些共振区域。比较大的空隙是3:1、5:2、7:3和2:1等共振区域。

在音乐上，频率共振会带来和谐和美感，但无理数的出现却带来了一些尴尬及无奈。基音——比如C音，频率为261Hz——确定以后，高八度就是C的频率的两倍522Hz。从C到高音C之间，如何确定其它音阶的频率是一个非常有趣的问题。

两个共振频率放在一起会令人听起来爽心悦耳，3/2是仅次于2/1共振的最为简单和纯粹的共振。按照毕达哥拉斯创建的“五度相生律”，如果基音是C，纯五度则定为C频的3/2倍；纯四度定为C频降3/2后再乘以2，也就是C的4/3；纯二度定为3/2平方除以2；纯六度为3/2的立方除以2。八度的其它音级的频率都是以类似的五度相生而产生。

由“五度相生律”所产生的八度可分为十二个音程，音程之间距离并不相等。现代音乐为了便于基音的改变和转调，不得不把八度平均分成十二个半音音程，使得各相邻两音之间的频率之比完全相等，如此得到的即是所谓的“十二平均律”。十二平均律基音改变以后音阶的比例也会完全一致。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的。

但非常遗憾的是，十二平均律半音的频率比为2的1/12次方，是一个无理数。而且每两个音的频率比，除了高八度外，都是无理数。比如，纯五度音程的两个音的频率比为2 的7/12 次方，是个无理数，大约等于1.4983，和自然泛音序列的1.5有些差别。同样，其它和弦音符都跟“五度相生律”序列中的几个音符不一样。所幸的是，纯五度、纯四度、大三度等在十二平均律中和3/2，4/3，5/4非常接近，常人听不出什么区别。正因为如此，小号等靠自然泛音序列定音的按键吹奏乐器得以在交响乐队演奏，而没有明显的违和感。

最后，关于无理数的性质有很多有趣的数学问题。比如，黄金分割是所有无理数中最“无理”的无理数。有意思的是，无理数不仅存在，而且事实上比有理数多得多。

——2018.7. 深圳